Introduction to Logic

Exercise 6.6 - Validity, Contingency, and Unsatisfiability

Say whether each of the following sentences is valid, contingent, or unsatisfiable.

a. x.p(x) ⇒ ∃x.p(x)  
b. x.p(x) ⇒ ∀x.p(x)  
c. x.p(x) ⇒ p(x)  
d. x.p(x) ⇒ p(x)  
e. p(x) ⇒ ∀x.p(x)  
f. p(x) ⇒ ∃x.p(x)  
g. x.∃y.p(x,y) ⇒ ∃y.∀x.p(x,y)  
h. x.(p(x) ⇒ q(x)) ⇒ ∃x.(p(x) ∧ q(x))  
i. x.(p(x) ⇒ q(x)) ∧ ∃x.(p(x) ∧ ¬q(x))  
j. (∃x.p(x) ⇒ ∀x.q(x)) ∨ (∀x.q(x) ⇒ ∃x.r(x))